他提出的双倍工资赔偿请求是否合法？

员工试用期内被无故辞退，提出双倍工资赔偿请求合法。依据《劳动合同法》，公司无故辞退员工需承担法律责任，包括双倍赔偿。不及时处理可能导致公司面临法律诉讼和额外赔偿。
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处理此类问题，常见方式有协商、调解、仲裁和诉讼。建议先尝试与公司协商，协商不成可寻求就业局调解，仍无法解决则考虑劳动仲裁或提起诉讼，根据具体情况选择最合适的方式。
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员工可申请双倍赔偿。操作如下：1.与公司协商，要求支付双倍赔偿金；2.协商无果，向就业局反映并申请调解；3.调解不成，准备证据，向劳动仲裁委员会提起仲裁；4.仲裁结果不满意，可向法院提起诉讼，维护自身权益。